Главная / Вокруг нас / Суперпозиция простоты и простая сингулярность

Суперпозиция простоты и простая сингулярность

суперпозиция простоты и простая сингулярность статья посвящена вопросам математики, конкретнее - речь пойдет о простых числах; автор статьи попытается максимально безболезненно ввести

Статья посвящена вопросам математики, конкретнее — речь пойдет о простых числах; автор статьи попытается максимально безболезненно ввести пользователя интернета прямиком в проблемы аналитической теории чисел — основы всех наук, используя в том числе такие вот хитрые методы, как выдвижение необоснованных утверждений.

Казалось бы, — что проще единицы
Возможно, ноль Опять же — ничего.
Исписанные числами страницы
Поют: «Всё — просто!»
Кроме одного.

Пишут, что единица — число не простое. Получается, единственное в своем роде не простое число, так как все другие числа, которые не являются простыми — являются составными, а единица также не составное число. Другими словами, все натуральные числа можно разделить на три класса чисел: простые, составные и… единицу. Следовательно, единица это — отдельный класс натуральных чисел, состоящий из одной себя самой… Скучно

Ладно. Вернёмся тогда сперва к определению простого числа, затем обратимся к современным мэтрам, раскроем заговор, доберемся до древних греков, попытаемся освободить единицу из изоляции, а потом наворотим тут вообще такого… Ок, по порядку.

Определение простого числа из БСЭ:

Простое число — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.

Получается, что одно лишь слово «различных» подвергает первое натуральное число жесткой дискриминации по отношению к остальным. Может, тогда логично убрать слово «различных» из определения простоты и пустить единицу в класс простых чисел, тогда все будет еще проще (в смысле, будет вообще норм)

Может и логично, и если немного углубиться в историю, то выяснится, что многие европейские математики, причём достаточно именитые, так и делали. Например, Гольдбах, автор знаменитой одноименной проблемы-теоремы-гипотезы (даже двух, одна из которых пока еще не решена и по сей день; обе напрямую связаны с простыми числами) включал 1 в последовательность простых чисел. Следует отметить второго (справедливо будет также назвать его первым) автора вышеупомянутой — проблемы — Его Превосходительства Эйлера. Согласно, например, статье в википедии, «сам Эйлер не считал единицу простым числом», при этом к утверждению приложена ссылка на документ на латыни, и мне даже пришлось вооружаться гуглом-переводчиком, чтобы убедиться, что никакого конкретного утверждения по поводу класса единицы он не выносил. Более того, в ответном письме Гольдбаху (в котором попробуй еще что-нибудь разбери) Эйлер не исключает двойку в формулировке гипотезы (известной как Бинарная проблема Гольдбаха, также Гипотеза Эйлера или Первая проблема Ландау; в оригинале: «любое четное число можно представить в виде суммы двух простых»), а следовательно также как и Гольдбах считает единицу простым числом (2=1+1) (Современная формулировка: любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел, ее явно кто-то переделал…)

Интересен также факт, что не выносил никакого конкретного суждения по поводу простоты единицы и Его Величество Гаусс, автор самой теоремы о распределении простых чисел, классическая формулировка которой может выглядеть так:

Вероятность простоты случайного числа на отрезке от 0 до n изменяется с увеличением n обратно пропорционально изменению значения натурального логарифма n.

Современная формулировка может выглядеть вот так:

Вероятность простоты случайного натурального числа n обратно пропорциональна значению натурального логарифма n.

К этим формулировкам еще вернемся в конце, пока же отметим, что Король Математики почему-то скромно и даже как-то подозрительно молчит. Из более современных математиков-сторонников простоты единицы -можно отметить Лебега, к слову, одного из самых известных математиков прошлого столетия.

А кто же против простоты Молчание Что же это такое! Это заговор! Безусловно, заговор анонимных математиков, которые где-то в начале прошлого столетия решили, что единицу следует изолировать ото всех остальных. Но справедливости ради нужно отметить, что у них были на то некоторые основания.

Во-первых, при включении единицы в класс простых чисел нарушается основная теорема арифметики Евклида в классической формулировке, которая утверждает, что:

Любое натуральное число n > 1 можно представить в виде : n=p1*p2…*pn, где — p1,p2…pn простые числа, причем такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей.

Действительно, если 1 включить в множество простых чисел, то таковое представление не будет «единственно», так как можно сколько угодно умножать что угодно на 1 без какого-либо изменения результата.

Но тут следует обратить внимание, что эта теорема сама в себе уже исключает единицу из последовательности натуральных чисел. Ну, и раз уж я взялся править определение простого числа, то мне ничего не стоит изменить и основную теорему арифметики (ну, я нимношк):

Любое натуральное число n можно представить в виде : n=p1*p2…*pn, где p1,p2…pn — простые числа, причем такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей и исключить отовсюду 1.

Также чуть упрощенное определение простого числа:

Натуральное число, которое не имеет натуральных делителей, кроме самого себя и единицы.

Все стало в итоге проще и даже единица, она — теперь в классе простых чисел!

Пойдем дальше: следующий аргумент в пользу не-простоты единицы тоже с приветом из древней Греции состоит в том, что с простой единицей становится недействительным доказательство Евклида теоремы о бесконечности количества простых чисел на бесконечной последовательности N (сама теорема тоже, судя по всему, принадлежит Евклиду).

Здесь тоже ничего страшного не происходит, данную теорему способен доказать теперь уже прилежный старшеклассник, применив, например, правило Лопиталя, которого к сожалению не было у греков (как и, собственно, самого Лопиталя). При этом такое доказательство будет проще, если включить единицу в множество простых чисел (базарю!).

Вот, собственно, и все реальные математические аргументы против простоты единицы на исходе, остался самый весомый — диалектической — слишком уж это уникальное — а если быть предельно точным — исключительное число. Такое определение как бы противоречит диалектическому понятию простое. Эта исключительность постоянно приводит к тому, что единицу часто приходится исключать из теорем (например в вышеупомянутой основной теореме арифметики, и в изначальной и видоизмененной) и вычислений (например, именно исключительность единицы привела к громкому заявлению на википедии о мнении Эйлера). А древние греки (точнее, наверное, будет сказать Древний Грек) вообще исключили ее из натуральной последовательности.

И что же теперь делать На самом деле всё равно, причем всем. Возможно, именно поэтому Древний Грек ее спокойно исключил из натурального ряда, а анонимные математики двадцатого века из множества простых чисел. Но с тем же самым пофигизмом на лице мы можем смело единицу назвать простым числом. Зачем нам это нужно Да мало ли зачем.

Например, чисто поржать — взять и сформулировать второстепенную (фуфлыжную) теорему арифметики:

Любое натуральное число можно разложить на простые множители бесконечным количеством способов.

А из этой теоремы, например, вывести определение математической бесконечности:

Бесконечность — количество способов, которыми можно разложить на простые множители любое натуральное число.

Де-факто получается, что согласно современной математике, единица — может рассматриваться и как простое, и как не простое число. Благо, современная наука с относительно недавних времен позволяет описать подобное состояние — единица находится в суперпозиции простоты. Вместе с двойкой она образует зону простой сингулярности, в которой не действуют никакие теоремы о распределении простых чисел и прочие правила и законы.

А теперь — шутки в сторону — проведем серьезное научное исследование и посмотрим, как же распределены простые числа вблизи этой зоны (и даже внутри нее!). Для этого нам потребуется две выше представленные формулировки теоремы о распределении простых чисел (не буду дублировать, они там наверху, где написано про Гаусса, там еще написано жирным теоремы о распределении простых чисел).

Таблица ниже демонстрирует результаты вероятности простоты натурального числа x/случайного числа на интервале от 1 до x, где первый столб — само число, второй столб — результат предсказанный формулой теоремы о распределении простых чисел, третий столб — эмпирический расчет вероятности, исходя из классической формулировки теоремы и четвертый эмпирический расчет вероятности, исходя из современной формулировки теоремы. Третий и четвертый столбы разделены еще на 2 столбца, в первом единица включена в множество простых чисел, во втором исключена при эмпирическом расчете вероятности. В третьем и четвертом столбцах, жирным выделен результат, наиболее близкий к искомому результату формулы трпч в рамках своей своей формулировки трпч, красным — самый близкий результат к искомому из всех эмпирических.

Из данных этого исследования можно сделать несколько выводов:

1 Современная формулировка в среднем точнее классической.

2 В зоне простой сингулярности и в непосредственной близости к ней эмпирический результат гораздо ближе к результату формулы трпч при включении единицы в множество простых чисел независимо от формулировки трпч.

3 По мере удаления от зоны сингулярности, исходя из классической формулировки трпч, эмпирический результат ближе к результату формулы трпч при исключении единицы из множества простых чисел. Исходя из современной формулировки, нельзя дать однозначного ответа на этот счет, ближайший эмпирический результат к следствию формулы начинает варьировать относительно равномерно, а при достаточной удаленности от зоны сингулярности простота единицы перестает играть какую-либо роль в силу самой формулировки.

Общий вывод данного исследования подтверждает, что исходя из теоремы о распределении простых чисел (доказанной неединожды!), единицу нельзя однозначно ни включить в множество простых чисел, ни исключить из него.

Да здравствует же суперпозиция простоты!

Да будет простая сингулярность!

Ура!

Читать еще:

Рабы на троне фараонов

Почему Египет называли «страной тюрков» Часть-2 «Колодец Голиафа» К счастью мамлюков, Хулагу и основная часть …

Добавить комментарий