Алгебраические многообразия, пространства дуг и антарктическая империя

Каким был личный космос Джона Нэша Джон Нэш автор фундаментальных исследований в области дифференциальной и вещественной алгебраической геометрии, а также теории игр, единственный человек, награжденный одновременно Нобелевской премией по экономике и премией Абеля. Он стал персонажем массовой культуры после выхода фильма «Игры разума». Рассказываем историю безумия великого математика, а также об основных его достижениях в сфере геометрии.
Диагноз, который поставили Джону Нэшу психиатры из госпиталя Маклин, был основан на весьма запутанном клубке из невидимых и вездесущих коммунистов, зороастрийских культов огня и космоса. Американская психиатрия того времени использовала в качестве одного из инструментов фрейдистский анализ. Не избежал этой участи и Нэш: его психоаналитик заключил, что галлюцинации пациента свидетельствуют о латентной гомосексуальности. Следует заметить, что подобный вывод был вполне обоснованным.
В 1954 году Нэша и еще одного молодого человека арестовали за «непристойное поведение» в уборной в Санта-Монике, Калифорния. В Америке середины 1950-х нравы были гомофобными, и Нэш потерял работу консультанта в стратегическом исследовательском центре RAND.
Психический коллапс Нэша совпал с ускорившейся эволюцией психиатрических практик. Старые методы вроде терапии электрическим током и введения пациентов в гипогликемическую кому применяли наряду с новыми антипсихотическими препаратами на них возлагали немалые надежды, назначая их в том числе при параноидной шизофрении. Нэшу прописали хлорпромазин (аминазин); вскоре его состояние начало стабилизироваться: это проявилось, помимо прочего, в том, что он нанял юриста, чтобы выписаться из больницы. Тем не менее следующие 20 лет жизни Джона Нэша прошли в попытках сбежать из реальности психиатрических клиник.
В этой истории, подробно описанной Сильвией Назар в книге «Игры разума», проглядывают как минимум два более интересных сюжета-интерпретации. Это теоремы Нэша об изометрических вложениях малоизвестные для всех, кто находится за границами чистой математики, однако куда более глубокие, чем другие популярные работы этого ученого. Кроме того, хочется взглянуть на иллюзии и галлюцинации Джона Нэша без традиционного нарратива инсулинового мышления. Посмотреть в глаза человека, которому большую часть своей жизни пришлось оправдываться за то, что он увидел Космос.
Болезнь гения
Впервые Нэш попал в клинику в 1958 году; на тот момент ему было 29 и он только что получил продвижение в Массачусетском технологическом институте. Инициатором госпитализации была его жена Алисия. В частности, ей почему-то показалось несколько странным то, что на предновогодней вечеринке супруг появился в подгузниках и провел вечер, свернувшись калачиком на ее коленях.
Возможно, какое-то подозрение вызвали заявления Нэша о том, что инопланетяне разрушили его карьеру, а его комната заполнена прослушивающими устройствами. Масла в огонь подлили и его письма в ООН, иностранным послам, папе римскому и в ФБР, в которых Нэш излагал планы формирования мирового правительства и высказывал желание поехать в Вашингтон, чтобы лично доставить их.
Ученый подозревал, что коллеги проверяют его мусорное ведро, чтобы украсть его идеи. Люди в красных галстуках, которых Нэш наблюдал в МТИ, были в его глазах членами криптокоммунистической партии. На собрании Американского математического сообщества он читал лекции, которые слушатели называли чистым безумием. Блестящий математик отказался от престижной позиции в Чикагском университете, мотивировав это тем, что собирается вскоре стать императором Антарктики. Поездка в Европу закончилась тем, что Нэш бежал из Парижа в Швейцарию, пытаясь отказаться от гражданства США, и писал оттуда множество писем нумерологического содержания.
Спустя шесть лет, пройдя несколько циклов тяжелых состояний и непродолжительных ремиссий в Принстоне, в феврале 1964-го Нэш отправился во Францию, а оттуда в Рим. Стоя перед Форумом, он слышал голоса, которые считал телепатическими телефонными звонками от математиков, осуждающих его идеи. Они материализовывались в виде местных жителей, которые будто бы передавали из телефонных будок сообщения в центральную машину, переводившую их на английский и доставлявшую (а точнее, вводившую, как при инъекции) информацию непосредственно в разум ученого. Сильвия Назар упоминает, что Нэш считал себя «великой тайной религиозной личностью», бросающей вызов папе как лидеру христианского мира.
В 1965 году появились признаки ремиссии, и целый год Нэш преподавал в Университете Брендайса. Но вскоре началось очередное падение в бездну, сопровождавшееся тайными сообщениями в The New Yor Times от некоего Тайного Комитета. Примерно тогда же Нэш связался с Джеком Брикером, аспирантом в МТИ, который ушел оттуда из-за настойчивого внимания со стороны Нэша. Математик считал, что его имя и фамилия (John Nash) естественно трансформируется в Johannes von Nassau, что напоминает, очевидно, John von Neumann (математик Джон фон Нейман также занимался теорией игр еще до Нэша). Что касается Брикера, то в его имени Нэш увидел отзвуки библейского имени Иаков (Jac Jacob), который выкупил у своего брата Исава (Nassau Esau) право первородства и от его лица получил отцовское благословение.
В письмах, которые цитирует Сильвия Назар, есть нетривиальные утверждения Нэша о природе его галлюцинаций: он говорит об «истинной потребности в освобождении, освобождении от рабства, освобождении от кастрации, освобождении из тюрьмы, освобождении от изоляции».
Нэш называл себя беженцем, который скрывается от «ложных и опасных символов».
В какой степени психическая дестабилизированность может сказаться на математическом исследовании, которое сущностно и методологически отличается от естественно-научных дисциплин В рамках вольного социологического допущения представим: если физик, занимающийся космологией, обнаружит в своей работе прямые и очевидные свидетельства наступления Кали-юги, предварительно посетив пару психиатрических клиник и получив соответствующий диагноз, то его научная репутация может оказаться под вопросом.
А вот математическая среда куда толерантнее к людям, которые делают свою работу, имея те или иные «необычные» свойства мышления. Насколько социологичен этот факт Следует ли помещать этот вопрос исключительно в контекст «математического сообщества» и его реакции на те или иные предположения
Главные работы Нэша
Обратимся к наиболее значимым математическим результатам, к которым пришел Джон Нэш. Для этого нужно пояснить некоторые первичные и основные определения, структуры и правила, которые используются в геометрии (преимущественно дифференциальной) и топологии.
Одним из базовых объектов, представляющих в первую очередь геометрический интерес, является многообразие топологическое пространство, которое локально напоминает пространство евклидово, знакомое нам из школьного курса геометрии и из повседневной пространственной интуиции. Что означает «локально напоминает» У каждой точки из многообразия есть открытая окрестность, которая гомеоморфна окрестности евклидова пространства.
Гомеоморфизм можно понимать как соответствие (точнее, отображение) Ф с определенным набором правил, а именно, что Ф непрерывное отображение и его обратная функция Ф-1 тоже непрерывна. Два многообразия топологически идентичны, если они гомеоморфны друг другу.
Итак, у нас есть топологическое пространство Х. Множество гомеоморфизмов между открытыми множествами X будет псевдогруппой S, если выполнены следующие условия:
1) области определений элементов g множества S покрывают Х;
2) сужение элемента g множества S на любое открытое множество, содержащееся в его области определения, также находится в S;
3) произведение двух элементов g1 * g2 множества S находится в S;
4) обратный элемент S находится в S;
5) если есть гомеоморфизм g : U V между двумя открытыми множествами в X, и U покрыто открытыми множествами Ua так, что каждое сужение g находится в нашем множестве S, то этот гомеоморфизм тоже принадлежит S.
С помощью псевдогруппы мы сможем вывести другое определение. Пусть S псевдогруппа на Rn, тогда S-многообразие размерности n это топологическое пространство М с S-согласованным атласом на нем. S-согласованный атлас (S-атлас) это множество S-согласованных карт, области определения которых покрывают М.
Карта, или локальная система координат это пара (Ui, fi), где Ui открытое множество в М и fi : Ui Rn гомеоморфизм. Если мы посмотрим на произведение одной карты с обратной функцией другой, то мы получим их склейку (отображение склейки), которая позволит нам сравнивать разные карты. Склейка также является гомеоморфизмом.
До этого мы поняли, что мы можем сравнивать и определять многообразия благодаря непрерывным отображениям между ними. Отображения бывают не только непрерывными, но и гладкими, а структуры, обладающие этим свойством (например, гладкие многообразия), это довольно удобные объекты, так как их можно изучить с помощью известных и привычных аналитических средств. Например, мы можем определить гладкую (непрерывно дифференцируемую, «дифференцируемая» на некотором множестве означает, что у функции есть дифференциал в каждой точке этого множества) функцию как функцию, имеющую непрерывную производную на всем множестве определения.
Теперь же, зная, что такое атлас, карта и склейка, мы легко можем понять, как различаются некоторые виды многообразий:
— дифференцируемое многообразие это топологическое многообразие, на котором заданы классы эквивалентности атласов, склейки которых являются дифференцируемыми;
— гладкое многообразие это дифференцируемое многообразие, у которого склейки являются гладкими, то есть существуют производные всех порядков;
— аналитическое многообразие это гладкое многообразие, в котором каждая склейка аналитична, то есть ряд Тейлора сходится абсолютно;
— комплексные многообразия, в которых склейки голоморфны.
Два гладких многообразия идентичны, если они диффеоморфны, то есть отображение между ними гладкое, равно как и обратное ему. Иначе говоря, диффеоморфизм это отображение для многообразий, обладающих свойством гладкости.
Когда мы говорим о гомеоморфизмах, то работаем с понятием непрерывной функции, а в случае с диффеоморфизмом с гладкой.
Теория категорий позволяет проще понять два эти определения. В элементарном и упрощенном понимании можно думать о гомеоморфизмах как об изоморфизмах в категории топологических пространств и непрерывных функций, а о диффеоморфизмах как об изоморфизмах в категории гладких многообразий, которые не просто непрерывны, но также сохраняют дифференциальную структуру.
Придирчивый читатель заметит, что в самом определении многообразия была пропущена существенная деталь: когда мы пытаемся говорить о сходности топологического многообразия с евклидовым пространством, обычно постулируется, что мы рассматриваем многообразия размерности m и евклидово пространство той же размерности Rm. Подобное замечание раскрывает, какую важную роль играет взаимодействие идентичных или разных размерностей, а также структур, которые гомеоморфны и диффеоморфны одновременно или нет. Например, американский ученый Джон Милнор получил медаль Филдса за исследование экзотических сфер в больших размерностях, которые являются гладкими многообразиями, гомеоморфными n-сфере, но не диффеоморфными.
Работа Джона Нэша также несет в себе вопрос о том, как взаимодействуют различные многообразия. Если точнее, это попытка исследования изометрических вложений римановых n-многообразий в евклидовы пространства Rq для какого-то q = q(n). Изометрическими они являются потому, что, грубо говоря, при отображении сохраняют длину кривых.
Нэш вывел и доказал три теоремы:
1. C0-римановы многообразия с непрерывными римановыми метриками допускают изометрические C1-вложения в евклидово пространство R2n.
2. Компактные Cn-римановыми m-многообразия, где n = 3, 4 и вплоть до бесконечности, допускают изометрические Cn-вложения в Rq, где q = 3sn + 4n, где sn = n * (n + 1) / 2, а некомпактные могут быть вложены в Rq, где q = (n + 1) * (3sn + 4n).
3. Компактные вещественные аналитические римановы m-многообразия допускают изометрические вещественные аналитические вложения в Rq для всё тех же q = 3sn + 4n.
Эти теоремы и их доказательства Нэш опубликовал в 19541966 годах. Можно позволить своему мышлению включить эзотерику и неточность, увидев довольно неожиданное появлении вполне конкретных оценок (чисел в вышеприведенных формулах) и спросив, как он об этом догадался. Никакого обоснованного ответа на этот метаматематический вопрос нет, как нет в работе Нэша и привычных паттернов, присущих, например, бурбакистам (строительство новых теорий) или «техникам» вроде Яу Шинтуна, которые известны способностью работать на максимально сложном в техническом смысле уровне.
Проблемы, решенные Нэшем, на тот момент были классическими; решения же были довольно далеки от классического (точнее, привычного, еще точнее вытекающего из общепринятой интуиции) метода.
Классический результат в дифференциальной топологии, теорема Уитни о вложении (и ее более слабая формулировка, теорема о погружении), заключается в том, что гладкое замкнутое (то есть компактное и не имеющее граничной точки) многообразие M размерности n может быть гладко вложено в R2n. Точнее, существует такое гладкое отображение f : M R2n, что в каждой точке дифференциал f является инъективным погружением. Также из теоремы Уитни следует, что на любом замкнутом гладком многообразии M можно найти вещественную аналитическую структуру, то есть существует атлас, который допускает функции замены координат, являющиеся вещественными аналитическими отображениями.
Нэш продолжил работу Уитни своей статьей Real algebraic manifolds (1952) и продемонстрировал, что каждое гладкое замкнутое многообразие размерности n может быть реализовано как алгебраическое подмногообразие (это любое подмножество Rn, состоящее из общих нулей множества полиномиальных уравнений).
Джон Нэш показал, что любому алгебраическому подмногообразию можно определить размерность, используя алгебраическую технику, и число, которое получается в итоге, совпадает с привычным метрическим определением размерности для подмножества евклидова пространства.
В вещественной алгебраической геометрии появился новый объект для изучения многообразия Нэша. Таким образом, работа Джона Нэша позволила перекинуть мост между алгебраическими и геометро-аналитическими техниками.
Доказательства, которые дал Нэш, оказались полезными для развития других аналитических и геометрических техник. Например, Юрген Мозер в 1966 году обобщил теорему Нэша 1956 года для решения задач в небесной механике; сама техника стала более известна как теорема Нэша Мозера (Nash Moser iteration scheme).
Конструкция Михаила Громова, известная как h-принцип, явно была вдохновлена теоремой Нэша Кёйпера: грубо говоря, Громов через h-принцип интерпретирует систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных как достаточно «мягкую» для того, чтобы она по своему поведению была похожа на дифференциальное неравенство. Множество изометрий не является открытым множеством в пространстве C1-отображений, так как является C0-плотным в открытом множестве коротких (не увеличивающих расстояний) отображений. Попытка работать с отсутствием такого рода решений одна из основных мотивировок создания h-принципа.
В более спекулятивном и философском разрезе можно сказать, что теорема Нэша Кёйпера, по сути, стала утверждающим доказательством того, что абстрактные миры, построенные Риманом, вполне естественно взаимодействуют с привычными евклидовыми пространствами.
Как и во многих других случаях, в математике важен не столько сам факт решения той или иной проблемы, а методы, которые создаются и используются для выполнения этих целей.

Источник